Новое математическое доказательство помогает решать уравнения со случайными компонентами

Будь то физические явления, цены акций или климатические модели — многие динамические процессы в нашем мире можно описать математически с помощью уравнений в частных производных. Благодаря стохастике — области математики, изучающей вероятности, — это возможно даже тогда, когда в этих процессах играет роль случайность.

Исследователи работают уже несколько десятилетий над так называемыми стохастическими уравнениями в частных производных. Работая вместе с другими исследователями, доктор Маркус Темпельмайр из Кластера передовых математических технологий Мюнстерского университета нашел метод, который помогает решить определенный класс таких уравнений.

Результаты опубликованы в журнале Математические изобретения.

В основе их работы лежит теория профессора Мартина Хайрера, лауреата Медали Филдса, разработанная в 2014 году совместно с международными коллегами. Это рассматривается как большой прорыв в области исследования сингулярных стохастических уравнений в частных производных. «До того времени, — объясняет Темпельмайер, — было загадкой, как решать эти уравнения. Новая теория предоставила, так сказать, полный «инструментарий» для того, как можно решать такие уравнения».

Проблема, продолжает Темпельмайер, заключается в том, что теория относительно сложна, в результате чего применение «набора инструментов» и адаптация его к другим ситуациям иногда затруднены.

«Итак, в нашей работе мы взглянули на аспекты «набора инструментов» с другой точки зрения, нашли и доказали метод, который можно использовать более легко и гибко».

Исследование, в котором Темпельмайр участвовал в качестве аспиранта под руководством профессора Феликса Отто в Институте математики в науках Макса Планка, опубликовано в 2021 году в виде препринта. С тех пор несколько исследовательских групп успешно применили этот альтернативный подход в своей исследовательской работе.

Стохастические уравнения в частных производных можно использовать для моделирования широкого спектра динамических процессов, например, поверхностного роста бактерий, эволюции тонких жидких пленок или моделей взаимодействующих частиц в магнетизме. Однако эти конкретные области применения не играют никакой роли в фундаментальных исследованиях в математике, поскольку независимо от них всегда задействован один и тот же класс уравнений.

Математики концентрируются на решении уравнений, несмотря на стохастические члены и связанные с ними проблемы, такие как перекрытие частот, приводящее к резонансам.

Для этой цели используются различные техники. В теории Хайрера используются методы, приводящие к построению наглядных древовидных диаграмм. «Здесь применяются инструменты из области стохастического анализа, алгебры и комбинаторики», — объясняет Темпельмайр. Он и его коллеги выбрали, скорее, аналитический подход. Их особенно интересует вопрос о том, как изменится решение уравнения, если слегка изменить лежащий в его основе случайный процесс.

Подход, который они выбрали, заключался не в непосредственном решении сложных стохастических уравнений в частных производных, а в решении множества различных более простых уравнений и доказательстве определенных утверждений о них.

«Решения простых уравнений затем можно объединить — так сказать, просто сложить — и получить решение сложного уравнения, которое нас действительно интересует». Эти знания используются другими исследовательскими группами, которые сами работают с другими методами.