Для многих идея математики вернет бесконечные часы формул и уравнений в школе. Так что это может показаться сложным представить, но когда-то было время, когда арифметики не существовало. Конечно, все еще была необходимость использовать сложные вычисления для решения реальных задач, но только когда Мухаммад ибн-Муса аль-Хорезми, так называемый «отец алгебры», установил основы для решения уравнений, мы начали закладывать основы современной математики.
В этом отрывке из ее новой книги «Вектор: Удивительная история пространства, времени и математических преобразований«, математик Робин Арианрод исследует 4000-летнюю эволюцию языка математики — от сложных описаний до символической формы, известной нам сегодня.
Учимся мыслить символически
Алгебра была частью математики с тех пор, как записи начались почти 4000 лет назад, но не всегда в символической форме, которую мы изучаем сегодня. Фактически, большую часть этих четырех тысячелетий она была записана полностью словами и цифрами — хотя такие работы, как знаменитый учебник Евклида 300 г. до н. э. «Элементы«также включены геометрические диаграммы, помогающие доказать такие вещи, как Теорема Пифагораи показать, как разложить квадраты, которые мы сегодня записали бы как (а+б)^2.
Итак, «алгебра» передавалась в громоздких текстовых задачах или все более сложных диаграммах — хотя геометрия имела свои преимущества. Например, это самый простой способ доказать теорему Пифагора. На рисунке 1.1 я дал алгебраическую адаптацию такого доказательства, хотя древние просто перестроили диаграмму, чтобы наглядно показать, что заштрихованная площадь равна сумме площадей квадратов на смежных сторонах треугольника — довольно умный подход!
Потребовалось много времени, чтобы алгебра выделилась из арифметики и геометрии в отдельный предмет. Он даже не получил своего названия до средневековья, и это произошло благодаря персидскому математику девятого века. Мухаммед ибн-Муса (аль-)Хорезми… Он учился в новаторском университете халифа аль-Мамуна в Багдаде, или «Доме мудрости», когда великое движение арабских переводов было в самом разгаре: греческие, индийские и другие древние рукописи собирались со всех уголков зарождающейся исламской империи и переводились на арабский язык.
Империализм редко бывает этичным и часто жестоким, но в конечном итоге он может привести к культурному взаимообогащению, и в этом случае визионерское переводческое движение было настолько важным, что к XII веку европейцы изучали арабский язык, чтобы перевести эти рукописи на латынь — включая «Птолемея».Альмагести «Элементы» Евклида, а также новые арабские работы, такие как работы аль-Хорезми. Название «алгебра», как известно, происходит от первого слова в названии его книги «Аль-Джабр ва’ль мукабала», что означает что-то нравиться «Краткая книга по исчислению путем завершения и балансировки.»
Судя по задачам, которые включил аль-Хорезми, примером того, что он подразумевал под «завершением», является «завершение квадрата», метод решения квадратных уравнений, которому вы, возможно, научились в школе…
Аль-Хорезми также не писал уравнения в той символической форме, которую мы используем сегодня. Фактически, с современной точки зрения его книга является скорее арифметической, чем алгебраической, и одним из ее важных результатов в Европе, когда она была переведена на латынь, стала популяризация индуистско-арабской десятичной системы счисления, которая в конечном итоге превратилась в нашу современную систему счисления.
И все же Аль-Хорезми часто называют «отцом алгебры». Возможно, он использовал слова, а не символы, и включенные им проблемы могли быть простыми — его цель, как он говорит нам, заключалась в том, чтобы научить студентов решать основные проблемы в «случаях наследования, наследства, разделов, судебных исков и торговли, а также во всех их отношениях друг с другом или там, где речь идет об измерении земель, рытье каналов, геометрических вычислениях и других объектах различного рода и рода».
Но он систематически излагал словесные линейные и квадратные уравнения с алгоритмическими методами их решения, то есть поиска «неизвестных чисел», наших современных Икс‘песок у‘s. На самом деле, английское слово «algorithm» — означающее набор правил для выполнения вычислений или других операций — происходит от «algorismi», ранней латинизированной попытки Аль-Хорезми.
…
Прелесть символических уравнений в том, что гораздо легче увидеть эти общие закономерности, когда вы можете увидеть проблему одним взглядом. Сравните это:
Take the square of the unknown number,
then add the unknown number to itself
and take the sum away from the square;
now let the total be eight.с этим:
x^2–2x=8И это еще не все: самые ранние математики решали каждое уравнение отдельно, но это будет проще, если вы увидите, что для уравнения подходит любой метод. х^2–2х=8 также будет работать для любого уравнения той же формы, х^2–ax=b. В конце концов, древние математики начали это осознавать, но прогресс был относительно медленным, потому что им приходилось держать все эти закономерности в голове или в длинных, запутанных предложениях, и было легко потерять нить.
Первыми, кто опубликовал уравнение в прозрачной, узнаваемой современной символической форме, были [Thomas] Харриотс исполнители в 1631 году, а затем [René] Декарт в приложении к своему «Рассуждению о методе» 1637 года. (Было несколько более ранних попыток, но символика, которую правильнее называть аббревиатурой, была извращенной и своеобразной.) Даже знаки +, -, = и ×, которые мы принимаем как должное, получили широкое распространение только в 17 веке. Это означает, что ранние известные нам алгебраисты — древние месопотамцы, египтяне, китайцы и греки, средневековые индусы, персы и арабы, а также ранние современные европейцы — все выражали свои уравнения в основном словами или графическими словесными изображениями. .
Связанный: 9 уравнений, которые изменили мир
Как показывает эта долгая история, мыслить символически — это уникальный навык. Возьмите слово «проблема», которое я дал выше: это пример алгоритмического мышления. Но символическое мышление является алгоритмическим и более того, поскольку его символы иногда содержат семена нового вида творчества — нового вида далеко идущей, но экономичной мысли.
Классический случай — Альберт Эйнштейн‘s Е=мс^2. Эйнштейн не ставил перед собой задачу найти связь между энергией и материей. Скорее, он просто хотел вычислить кинетическую энергию движущегося электрона в соответствии со своими новыми теория относительностичтобы его теоретическое предсказание можно было проверить экспериментально.
Однако несколько месяцев спустя 26-летний Эйнштейн начал осознавать значимость своего уравнения. Он описал его в своей пятой новаторской работе 1905 года, его annus mirabilis, но ему потребовалось еще два года, чтобы вычленить полные, драматические последствия этого символического отношения. Чтобы понять, что это было не просто вычисление относительно конкретной формы энергии и конкретного типа материи, это было общим: если тело приобретает (или теряет) энергию, оно также приобретает (или теряет) массу. Эта странная идея чужда всему нашему здравому смыслу — но она была там, скрытая в символах его уравнения. Экспериментальным физикам потребовались десятилетия, чтобы экспериментально подтвердить это удивительное математическое предсказание.
Гораздо более простым и ранним примером является последовательность полномочий Икс, х^2, х^3 и так далее. Первая «степень» — 1, поэтому Икс действительно х^1 где 1 традиционно геометрически связывалась с линией 1-D. Следующие два, х^2 и х^3, произносятся как «х в квадрате» и «х в кубе» по аналогии с площадью квадрата и объемом куба. Эти имена подчеркивают то, как ранние математики мыслили геометрически, а не алгебраически, из-за осязаемой природы геометрии. Напротив, символическая алгебра абстрактна: вам нужно придать ей значение, даже если это просто отображение интересной закономерности, такой как х, х^2, х^3, х^4,… Но эта гибкость — великая сила алгебры. Вы можете записать столько (конечных) высших степеней, сколько захотите, без необходимости визуализировать их как физические объекты.
Сегодня это может показаться очевидным, но математикам потребовалось три с половиной тысячи лет, чтобы отойти от решения квадратных уравнений — слово «квадратный» происходит от латинского слова «квадрат», поэтому квадратные уравнения — это те, высшая степень которых равна х^2 (неизвестное, умноженное само на себя, как говорили древние) — к решению «кубических» и более высоких уравнений. Эти уравнения более высокой степени, конечно, намного сложнее; но одна из причин, по которой решения не давались легко, заключалась в том, что алгебра была привязана к словам и конкретным изображениям в течение очень долгого времени.
Например, я упомянул «завершение квадрата» Аль-Хорезми для решения квадратного уравнения. На самом деле этой задаче 4000 лет, и она восходит к (насколько показывают исторические записи) клинописным табличкам, сделанным математиками, жившими, как и Аль-Хорезми, в районе современного Ирака. Эти древние месопотамцы решали квадратные уравнения, буквально дополняя квадрат.
Вот типичная педагогическая проблема того времени: «Добавь 20 моих длин к площади моего квадрата, [to get] 21. Насколько квадратен мой квадрат? Этот тип задач и алгоритм их решения аналогичен тем, которым учат сегодня, — за исключением того, что четыре тысячелетия назад метод был разработан полностью геометрически. Сначала нарисуйте квадрат с произвольной стороной Икс (в современных обозначениях); затем добавьте к нему прямоугольник размером 20 [by] Икс. Теперь разделите этот дополнительный прямоугольник на два равных меньших и расположите их рядом и ниже исходного квадрата. Наконец, завершите этот новый, больший квадрат, как на рисунке 1.2.
Месопотамцы, разрабатывая этот метод, имели в виду практические проблемы, по крайней мере, изначально. Живя в стране, где вода была в дефиците, их таблички содержат множество задач, связанных с рытьем каналов и водохранилищ, вместимостью цистерн, строительством и ремонтом плотин и дамб, а также административными отчетами, связанными с этими задачами, — и для решения этих задач этим древним математикам приходилось решать уравнения, связанные с площадями и объемами.
Почти 3000 лет спустя Аль-Хорезми также сосредоточился на схожих практических проблемах и использовал аналогичный геометрический метод завершения квадрата — так же поступали и другие математики вплоть до XVII века.
Этот отрывок был отредактирован по стилю и длине. Перепечатано с разрешения из «Vector: A Surprising Story of Space, Time, and Mathematical Transformation» Робин Арианрод, опубликованной The University of Chicago Press. © 2024 Робин Арианрод. Все права защищены.
